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問17

稼働率がα(0<α<1)の装置三つを用いて図のようにシステムを設計するとき,システムの稼働率が装置単体の稼働率を上回るものはどれか。ここで,並列に接続されている部分は,いずれかの経路が稼働していればシステムは稼働しているものとする。

○正解
×不正解

AとB

AとC

BとC

全て

解説

AとC

機械1と2があったときの直列接続・並列接続の稼働率の計算式は以下のようになります。
直列接続: 稼働率 = 機械1の稼働率 × 機械2の稼働率
並列接続: 稼働率 = 1 - (1 - 機械1の稼働率) × (1 - 機械2の稼働率)

以上の式を用いてA~Cの稼働率を求めます。
Aの稼働率 = 1 - (1 - α) × (1 - α) × (1 - α) = α(α2-3α+3)
Bの稼働率 = α × (1 - (1 - α) × (1 - α)) = α(-α2+2α)
Cの稼働率 = 1 - (1 - α) × (1 - (α × α)) = α(-α2+α+1)

稼働率がαを上回るという不等式を立てたとき,それが真であるものが正解となります。
A: α(α2-3α+3) > α
B: α(-α2+2α) > α
C: α(-α2+α+1) > α

各式を展開すると以下のようになります。
A: α2-3α+3 > 1 → α2-3α+2 > 0 → (α-1)(α-2) > 0
B: -α2+2α > 1 → α2-2α+1 < 0 → (α-1)2 < 0
C: -α2+α+1 > 1 →  α2-α < 0 → α(α-1) < 0

αは0<α<1であるため,
A: (α-1)<0, (α-2)<0なので(α-1)(α-2) > 0は真となります。
B: (α-1)<0なので(α-1)(α-1) < 0は偽となります。
C: α>0, (α-1)<0なのでα(α-1) < 0は真となります。

従って,稼働率がαを上回るのはAとCになります。

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